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\title{高等代数第九章课文与习题}
\author{北大} 
%\date{2025年3月9日}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{第九章课文}

\subsection{欧几里得空间的定义与基本性质}

\begin{enumerate}
\item （定义1）
设 $V$ 是实数域上的线性空间。在$V$上的一个内积是指一个二元实值函数
$(\alpha,\beta)$, 满足对称性、线性、正定性。
带内积的实线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间。

\item （例1）$V=\mathbb{R}^n$, 内积定义为
\begin{eqnarray*}
\alpha &=& (x_1,x_2,\cdots,x_n), \\
\beta &=& (y_1,y_2,\cdots,y_n), \\
(\alpha,\beta) &=& x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n. 
\end{eqnarray*}

\item （例2）$V=C[a,b]$ 为区间$[a,b]$上的实值连续函数全体组成的线性空间。
内积定义为 $$(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)dx. $$


\item （定义2、3）欧氏空间$(V,(,))$中向量的长度和夹角分别定义为
$$
|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}, \quad 
\theta = \angle(\alpha,\beta), \quad 
\cos\theta = \frac{(\alpha,\beta)}{\sqrt{(\alpha,\alpha)}\sqrt{(\beta,\beta)}}, \quad 0\le\theta\le\pi. 
$$


\item 证明欧氏空间的柯西不等式： $|(\alpha,\beta)|\le |\alpha||\beta|$. 

\item （定义4）如果两个向量 $\alpha,\beta$ 的内积为零，则称这两个向量垂直，也称为正交。

\item 证明欧氏空间的勾股定理：如果两个向量 $\alpha,\beta$ 互相垂直，那么
$$|\alpha+\beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2. $$

\item 设$V$是有限维欧氏空间。
\begin{enumerate}
\item  写出内积在一组基下的度量矩阵的定义。
\item  证明内积在不同的基下的度量矩阵之间是合同的。
\item  证明度量矩阵是正定的。
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{标准正交基}

\begin{enumerate}

\item （定义6）$n$维欧氏空间$V$中的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$如果满足下述条件，
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item  向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关；
\item  向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性生成整个线性空间$V$；
\item  向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$两两相互垂直；
\item  向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的每个向量的长度都是1.
\end{enumerate}
那么称这是一组标准正交基。

\item 证明：欧氏空间的内积在标准正交基下的矩阵是单位矩阵。

\item （定理1）有限维欧氏空间的任意一个正交向量组都能扩充成一个正交基。

\item （定理2-施密特正交化过程）设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是$n$维欧氏空间$V$的一组基。则$V$存在一组标准正交基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$使得
\begin{eqnarray*}
L(\alpha_1)&=&L(\eta_1), \\
L(\alpha_1,\alpha_2)&=&L(\eta_1,\eta_2), \\
\cdots && \cdots \\
L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)&=&L(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n). 
\end{eqnarray*}

\item （定义7）设$A$是$n$阶实数矩阵，如果$A^tA=E$, 那么称$A$是正交矩阵。

\end{enumerate}


\subsection{同构}

\begin{enumerate}

\item （定义8）两个欧氏空间$V,V'$称为是同构的，如果存在一个双射 $\sigma:V\to V'$, 保持加法、数乘、内积这三种运算，即对任意$\alpha,\beta\in V$, 对任意$k\in\mathbb{R}$, 有
\begin{enumerate}
\item  $\sigma(\alpha+\beta) = \sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$.
\item  $\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$.
\item  $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta)) = (\alpha,\beta)$.
\end{enumerate}

\item （定理3）如果两个有限维欧氏空间的维数相同，那么这两个欧氏空间是同构的。

\end{enumerate}






\subsection{正交变换}

\begin{enumerate}

\item （定义9）欧氏空间的线性变换$\mathcal{A}:V\to V$ 如果爆出内积不变，那么称为是正交变换，即对任意$\alpha,\beta\in V$, 有 $(\mathcal{A}(\alpha),\mathcal{A}(\beta)) = (\alpha,\beta)$.

\item （定理4）设 $\mathcal{A}:V\to V$是$n$维欧氏空间的线性变换。则下述等价：
\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{A}$是正交变换。
\item  $\mathcal{A}$保持向量的长度不变。
\item  $\mathcal{A}$将标准正交基变成标准正交基。
\item  $\mathcal{A}$在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
\end{enumerate}

\item （例1）写出二阶正交矩阵的一般形式。

\item （例2）写出三阶正交矩阵的一些例子。

\end{enumerate}

\subsection{子空间}

\begin{enumerate}

\item 什么时候称两个子空间是正交的？什么时候称一个向量和一个子空间是正交的？

（定义10）设$V_1,V_2$是欧氏空间$V$的两个子空间。如果对任意$\alpha\in V_1, \beta\in V_2$, 有 $(\alpha,\beta)=0$, 那么称这两个子空间是正交的。

设$\alpha\in V$, 如果对任意 $\beta\in V_2$, 有 $(\alpha,\beta)=0$, 
那么称向量$\alpha$与子空间$V_2$是正交的。

\item （定理5）如果子空间$V_1,V_2,V_3$两两正交，那么和空间$V_1+V_2+V_3$是直和。

\item （定义11）设$V_1$是欧氏空间$V$的子空间，什么是$V_1$的正交补空间？

\item （定理6）有限维欧氏空间的每个子空间都有唯一的正交补空间。


\end{enumerate}

\subsection{实对称矩阵的标准形}

\begin{enumerate}

\item （引理1）实对称矩阵的复特征值都是实数。

\item （定义12）设$\mathcal{A}:V\to V$是欧氏空间上的一个线性变换。
如果对任意 $\alpha,\beta\in V$ 有 $(\mathcal{A}\alpha,\beta) = (\alpha,\mathcal{A}\beta)$, 那么称这是一个对称变换。

\item （引理2）从$n$阶实对称矩阵可以定义$n$维欧氏空间上的对称变换。

\item （引理3）设 $W\subset V$ 是对称变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 的不变子空间。
则其正交补空间 $W^\perp\subset V$ 也是$\mathcal{A}$-不变子空间。

\item （引理4）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是相互正交的。

\item （定理7）设$A$是$n$阶实对称矩阵，则存在$n$阶正交矩阵$P$,使得$P^tAP$为对角矩阵。

\item （例1）设矩阵$A$如下，求正交矩阵$P$, 使得$P^tAP$为对角矩阵，
$$
A= \begin{pmatrix}
0&1&1&-1 \\ 
1&0&-1&1 \\ 
1&-1&0&1 \\ 
-1&1&1&0 \\ 
\end{pmatrix}. 
$$

\item （定理8）任意实二次型 $\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$
都可以通过正交的线性替换 $X=PY$ 变成平方和 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$,其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是矩阵$A$的所有特征值。

\item （例2）将一般的二次曲面通过旋转的平移，化为标准形式。

\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{第九章习题}

1. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶正定矩阵，而
\[ \alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n), \quad \beta = (y_1, y_2, \cdots, y_n). \]
在 \( \mathbb{R}^n \) 中定义内积为
\[ (\alpha, \beta) = \alpha A \beta^T. \]

1）证明：在这个定义之下，\( \mathbb{R}^n \) 成一欧氏空间；

2）求单位向量 \( e_1 = (1, 0, \cdots, 0), e_2 = (0, 1, \cdots, 0), \cdots, e_n = (0, 0, \cdots, 1) \) 的度量矩阵；

3）具体写出这个空间中的柯西-布尼亚科夫斯基不等式。

2. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求 \( \alpha, \beta \) 之间的夹角 \( \langle \alpha, \beta \rangle \)（内积按通常定义）。设

  1）\( \alpha = (2, 1, 3, 2), \beta = (1, 2, -2, 1); \)

  2）\( \alpha = (1, 2, 2, 3), \beta = (3, 1, 5, 1); \)

  3）\( \alpha = (1, 1, 1, 2), \beta = (3, 1, -1, 0). \)

3. \( d(\alpha, \beta) = \|\alpha - \beta\| \) 通常称为 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的距离，证明：
\[ d(\alpha, \gamma) \leq d(\alpha, \beta) + d(\beta, \gamma). \]

4. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中求一单位向量与 \( (1, 1, -1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3) \) 正交。

5. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \) 是欧氏空间 \( V \) 的一组基，证明：
  1）如果 \( \gamma \in V \) 使 \( (\gamma, \alpha_i) = 0 \ (i = 1, 2, \cdots, n) \)，那么 \( \gamma = 0; \)
  2）如果 \( \gamma_1, \gamma_2 \in V \)，对任一 \( \alpha \in V \)，有 \( (\gamma_1, \alpha) = (\gamma_2, \alpha) \)，那么 \( \gamma_1 = \gamma_2. \)

6. 设 \( \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \) 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
\[ \alpha_1 = \frac{1}{3} (2 \epsilon_1 + 2 \epsilon_2 - \epsilon_3), \quad \alpha_2 = \frac{1}{3} (2 \epsilon_1 - \epsilon_2 + 2 \epsilon_3), \quad \alpha_3 = \frac{1}{3} (\epsilon_1 - 2 \epsilon_2 - 2 \epsilon_3) \]
也是一组标准正交基。

7. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4, \varepsilon_5 \) 是 5 维欧氏空间 \( V \) 的一组标准正交基，\( V_1 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \)，其中 
\[ \alpha_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_5, \quad \alpha_2 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_4, \quad \alpha_3 = 2\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3, \]
求 \( V_1 \) 的一组标准正交基。

8. 求齐次线性方程组
\[
\begin{cases} 
2x_1 + x_2 - x_3 + x_4 - 3x_5 = 0, \\ 
x_1 + x_2 - x_3 + x_5 = 0 
\end{cases}
\]
的解空间（作为 \( \mathbb{R}^5 \) 的子空间）的一组标准正交基。

9. 在 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 中定义内积为 \( (f,g) = \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx \)。求 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 的一组标准正交基（由基 \( 1, x, x^2, x^3 \) 出发作正交化）。

10. 设 \( V \) 是一维欧氏空间，\( \alpha \neq 0 \) 是 \( V \) 中一固定向量。
1）证明：
\[ V_1 = \{ x \mid (x, \alpha) = 0, x \in V \} \]
是 \( V \) 的一子空间；

2）证明：\( V_1 \) 的维数等于 \( n-1 \)。

11. 1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的；

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

12. 设 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中一组向量，而
\[
\Delta = 
\begin{pmatrix}
(\alpha_1, \alpha_1) & (\alpha_1, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_m) \\
(\alpha_2, \alpha_1) & (\alpha_2, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_2, \alpha_m) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_m, \alpha_1) & (\alpha_m, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_m, \alpha_m)
\end{pmatrix},
\]
证明：当且仅当 \(|\Delta| \neq 0\) 时，\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 线性无关。

13. 证明：上三角形的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为 1 或 -1。

14. 1）设 \(A\) 为一个 \(n\) 阶实矩阵，且 \(|A| \neq 0\)，证明 \(A\) 可分解成
\[
A = QT,
\]
其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(T\) 是上三角形矩阵，即
\[
T =
\begin{pmatrix}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\
0 & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & t_{nn}
\end{pmatrix},
\]
且 \(t_{ii} > 0 \ (i=1,2,\cdots,n)\)，并证明这个分解是唯一的；

2）设 \(A\) 是 \(n\) 阶正定矩阵，证明存在一个上三角形矩阵 \(T\)，使
\[
A = T^T T.
\]

15. 设 \(\eta\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中一单位向量，定义变换 \(\mathcal{A}\)：
\[
\mathcal{A} \alpha = \alpha - 2(\eta, \alpha) \eta.
\]

证明：

1）\(\mathcal{A}\) 是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；

2）\(\mathcal{A}\) 是第二类的；

3）如果 \(n\) 维欧氏空间中，正交变换 \(\mathcal{A}\) 以 1 作为一个特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 \(V_1\) 的维数为 \(n-1\)，那么 \(\mathcal{A}\) 是镜面反射。

16. 证明：实对称矩阵的特征值是零或纯虚数。

17. 求正交矩阵 \(T\)，使 \(T^T AT\) 成对角形，其中 \(A\) 为
\[
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -2 \\
0 & -2 & 0 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 5 & -4 \\
-2 & -4 & 5 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0 
\end{pmatrix},
\]
\[
\begin{pmatrix}
-1 & -3 & 3 & -3 \\
-3 & -1 & -3 & 3 \\
3 & -3 & -1 & -3 \\
-3 & 3 & -3 & -1 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 
\end{pmatrix}.
\]

18. 用正交线性替换化下列二次型为标准形：

1) $ x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3 $;

2) $ x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 8x_2x_3 $;

3) $ 2x_1x_2 + 2x_3x_4 $;

4) $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 - 2x_1x_2 + 6x_1x_3 - 4x_1x_4 - 4x_2x_3 + 6x_2x_4 - 2x_3x_4 $.

19. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实对称矩阵，证明：$ A $ 正定的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全大于零.

20. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实矩阵，证明：存在正交矩阵 $ T $，使 $ T^{-1}AT $ 为三角形矩阵的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全是实的.

21. 设 $ A, B $ 都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 $ T $，使 $ T^{-1}AT = B $ 的充分必要条件是 $ A, B $ 的特征多项式的根全部相同.

22. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实对称矩阵，且 $ A^2 = A $，证明：存在正交矩阵 $ T $，使

$$
T^{-1}AT =
\begin{pmatrix}
1 & & & & & & \\
& 1 & & & & & \\
& & \ddots & & & &\\
& & & 1 & & &\\
& & & & 0 & & \\
& & & & & \ddots &\\
& & & & & & 0
\end{pmatrix}.
$$

23. 证明：如果 $ \mathcal{A} $ 是 $ n $ 维欧氏空间的一个正交变换，那么 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间的正交补也是 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间.



24. 欧氏空间 $ V $ 中的线性变换 $ \mathcal{A} $ 称为反称的，如果对任意 $ \alpha, \beta \in V $，

$$
(\mathcal{A}\alpha, \beta) = -(\alpha, \mathcal{A}\beta).
$$

证明：

1) $ \mathcal{A} $ 为反称的充分必要条件是，$ \mathcal{A} $ 在一组标准正交基下的矩阵为反称矩阵；

2) 如果 $ V_1 $ 是反称线性变换 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间，则 $ V_1^\perp $ 也是。

25. 证明：向量 $ \beta \in V_1 $ 是向量 $ \alpha $ 在子空间 $ V_1 $ 上的内射影的充分必要条件是，对任意的 $ \xi \in V_1 $，

$$
|\alpha - \beta| \leq |\alpha - \xi|.
$$

26. 设 $ V_1, V_2 $ 是欧氏空间 $ V $ 的两个子空间，证明：

$$
(V_1 + V_2)^\perp = V_1^\perp \cap V_2^\perp, \quad (V_1 \cap V_2)^\perp = V_1^\perp + V_2^\perp.
$$

27. 求方程组

$$
\begin{cases}
0.39x - 1.89y = 1, \\
0.61x - 1.80y = 1, \\
0.93x - 1.68y = 1, \\
1.35x - 1.50y = 1
\end{cases}
$$

的最小二乘解。用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上述方程组的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解。（取三位有效数字计算。）




\end{document}




